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角元塞瓦定理

角元塞瓦定理平面幾何中的一個重要定理,表述如下:

設P為平面上一點(不在AB、BC、AC三條直線上),延長AP、BP、CP分別交對邊或其延長線於D、E、F三點,則(sin∠BAP/sin∠PAC)(sin∠ACP/sin∠PCB)(sin∠CBP/sin∠PBA)=1。這個定理可以用於判斷三線共點的問題,即如果上述比例式成立,則AD、BE、CF三線共點或互相平行。

角元塞瓦定理的逆定理也很有用,它表述為:在三角形ABC三邊BC、AC、AB上分別取D、E、F三點,連線AD、BE,設它們交於P,連線CP、PF。如果(sinBAP/sinPAC)(sinACP/sinPCB)(sinCBP/sinPBA)=1,則C、P、F在同一直線上,即AD、BE、CF三線共點。

這個定理在數學競賽和解決幾何問題中有廣泛的套用,可以通過同一法或梅涅勞斯定理等方法進行證明。