蒙日-安培方程（Monge-Ampere equation）是一類重要的二階完全非線性偏微分方程，它在數學和物理的多個領域中有著廣泛的套用，如微分幾何、變分法、最最佳化問題及傳輸問題等。這個方程是由法國數學家蒙日（Gaspard Monge）和法國物理學家兼數學家安培（André-Marie Ampère）獨立提出的。
蒙日-安培方程的數學表示為：
[ \det(u_{ij}) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) ]
其中 ( u ) 是一個未知函式，( u_{ij} ) 是 ( u ) 的二階偏導數，( f ) 是一個給定的函式。這個方程在數學理論和套用中都有重要的地位，尤其是在處理與曲面和曲面族相關的問題時。
蒙日-安培方程的求解是一個具有挑戰性的問題，由於其完全非線性的特性，使得其解析解或數值解的求解變得複雜。例如，在圖像處理和計算機視覺領域，兩張照片的匹配問題可以轉化為兩個機率分布的匹配問題，而這個匹配對應的可以寫成一個梯度映射，其中是一個凸函式，且滿足著名的蒙日-安培方程。
此外，蒙日-安培方程還與卡拉比-丘流形證明有關，顯示了其在更高級數學問題中的重要性。