平方和相加公式是數學中的一個基本公式，用於計算從1到n的所有整數的平方和。這個公式可以表示為：
S_n = n(n+1)(2n+1)/6
其中，S_n是1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2的總和。這個公式可以通過不同的方法進行證明，例如歸納法和利用恆等式。
歸納法證明：
當n=1時，左邊=1^2=1，右邊=1(1+1)(2*1+1)/6=1，等式成立。
當n=2時，左邊=1^2+2^2=1+4=5，右邊=2(2+1)(2*2+1)/6=5，等式成立。
假設當n=k時等式成立，即1^2+2^2+...+k^2=k(k+1)(2k+1)/6。
當n=k+1時，左邊=1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2，根據歸納假設，這部分等於k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2，整理後得到右邊= (k+1)(k+2)(2k+3)/6，等式仍然成立。
利用恆等式證明：
通過觀察一系列恆等式，如(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1，可以將這些等式相加得到一個關於1^2到n^2的總和的表達式。
通過一系列代數操作，最終可以得到平方和公式S_n = n(n+1)(2n+1)/6。
這個公式不僅在數學中有套用，也在物理和其他科學領域中有著廣泛的使用。它幫助我們快速計算一系列整數的平方和，是一個非常實用的工具。