求特徵根的方法取決於上下文，具體如下：
對於微分方程。特徵根是通過特徵方程求得的，其基本步驟是將微分方程中的每一項的導數階數轉化為該項的冪指數，如y''變為y^2，y'''變為y^3，係數保持不變，得到的方程即為特徵方程，然後解這個方程即可得到特徵根。
對於矩陣問題。特徵根的求法包括特徵值分解法、冪法和反冪法。特徵值分解法適用於可對角化的矩陣，其過程包括求解矩陣的特徵值和對應的特徵向量，然後將特徵向量按列組成矩陣，特徵值按對角線排列組成新的矩陣，從而將原矩陣表示為兩矩陣的乘積；冪法和反冪法是疊代算法，分別用於求解矩陣的最大特徵值和最小特徵值及其對應的特徵向量。
二階系統的情況。特徵根可以通過解閉環傳遞函式的二次方程求得，根據阻尼係數的不同，特徵根有四種情況，當阻尼係數大於1時，系統為過阻尼形態，有兩個負實根；當阻尼係數為零時，系統有兩個虛根；當阻尼係數在0到1之間時，系統為欠阻尼狀態，有一對共軛復根；當阻尼係數等於1時，系統為臨界阻尼狀態，有兩個相等的實根。